Mathematical rants: Cantor’s ∞, uncertainty και fuzzy logic

Στο σχολείο διδασκόμαστε μαθηματικά. Όλοι. Από την πρώτη δημοτικού έως την τρίτη λυκείου, κάθε χρόνο, κάθε παιδί, κάθε τάξη, διδάσκεται μαθηματικά. Τι συμβαίνει όμως όταν ξεφεύγουμε από τα “τυπικά” μαθηματικά του σχολείου; Τα τυποποιημένα, αυτά που δεν σε εμπνέουν, μαθηματικά; Ίσως είναι η καλύτερη στιγμή για κάθε “θετικό” ή “τεχνολογικό” άτομο, η στιγμή που πραγματικά αρχίζεις να καταλαβαίνεις το νόημα των μαθηματικών, το γιατί είναι η βασίλισσα και η πιο βασική επιστήμη των επιστημών — πως όλα είναι μαθηματικά.

(Btw, I hope there will be an English version soon. If you’re eager to read what I wrote in the first place, there’s also Google Translate for this.)

Χθες λοιπόν, είχα μια τρομερή συζήτηση με τον Ηλία στο Twitter (μέσω DMs, δυστυχώς για εσάς) και με τον @zrks_77.

Ας τα πάρουμε όμως από την αρχή.

Ο Cantor προσπαθώντας να αποδείξει την θεωρία του έπεσε σε ένα loop. Τραγικό loop, αφού αυτό τον οδήγησε στην τρέλα και στο θάνατο. Anyway, ο Cantor λοιπόν προσπαθώντας να αποδείξει το “άπειρο των απείρων” την μία φορά απεδύκνυε ότι όντως ισχύει θεώρημά του και την επόμενη απεδύκνυε πως δεν ίσχυε.

Για να καταλάβουμε καλύτερα το concept του “άπειρου των απείρων” ας σκεφτούμε κάπως έτσι: έστω ένας κύκλος, και μέσα του σχεδιάσουμε ένα τρίγωνο θα έχουμε 3 σημεία επαφής. Έστω ότι συνεχίζουμε με το να κατασκευάσουμε ένα τετράγωνο και ξανά ένα τρίγωνο et cetera. Θα βλέπαμε “κάποτε” πως όντως ο κύκλος αποτελείται από ∞ σημεία τα οποία απέχουν μεταξύ τους μια στοιχειώδη απόσταση. Συνεχίζουμε λοιπόν, φέρνοντας την ακτίνα για κάθε ένα από τα σημεία αυτά ώστε και να τα διαπερνά η ημιευθεία-ακτίνα του καθενός. Μέχρι τώρα ξέρουμε πως ο κύκλος αποτελείται από ∞ σημεία, ∞ ακτίνες. Έστω ότι φτιάχνουμε έναν ομόκεντρο, μεγαλύτερο (εξωτερικό δηλαδή) κύκλο και προεκτείναμε κάθε ακτίνα του εσωτερικού ώστε να τέμνει και τον εξωτερικό. Θα βλέπαμε πως η απόσταση μεταξύ των ακτινών μεγαλώνει, άρα και η απόσταση μεταξύ του κάθε σημείου του εξωτερικού κύκλου μεγάλωσε, άρα υπάρχουν και άλλα ∞  σημεία του εξωτερικού κύκλου. Κάτι σαν “μόλις βρήκαμε ένα ∞ αλλά ταυτοχρόνως αποδείξαμε και ένα μεγαλύτερο ∞ από το προηγούμενο ∞”.

Αυτό με απλά λόγια είναι το concept του άπειρου των απείρων.

Όσο προσπαθούσε ο Cantor να το αποδείξει αυτό, εκτός του ότι δεχόταν απίστευτη κριτική από μαθηματικούς όπως Poincaré και άλλους, αμφιταλαντευόταν όπως είπαμε, μεταξύ του “ισχύει” και “δεν ισχύει”.

Στην συνέχεια έρχεται ο Gödel. Ο Gödel απέδειξε πως τελικά, δεν επιλύονται όλα τα προβλήματα (όταν ακούστηκε το μαγικό “τετέλεσται”). Μια τελείως επαναστατική θεωρία για την εποχή την δική του, του Hilbert και το μότο του “Ποτέ ignorabimus”. Είμαστε αναγκασμένοι λοιπόν να δεχούμε κάποια βασικά αξιώματα, τα οποία ξέρουμε πως ίσως να μην (και μάλλον δεν) θα αποδειχτούν ποτέ.

Αξιώματα τα οποία ο Russell προσπάθησε να εξαλείψει στα Principia Mathematica με τον Whitehead. Και αν όχι “εξαλείψει” αλλά να βρει τα θεμέλια των μαθηματικών, ώστε να ξανά χτιστούν οι βάσεις με λιγότερα αξιώματα.

Με το θεώρημα του Gödel ισχυρίζονται πολλοί πως εξαιτίας του υπάρχει και η Uncertainty theory ή αλλιώς η Θεωρία της Αβεβαιότητας, μιας και δεν μπορούμε πλέον να είμαστε σίγουροι για το αν κάτι αποδυκνύεται ή όχι ή να το θεωρήσουμε σαν αξίωμα.

Και εδώ είναι που θα διαφωνίσω.

Βασιζόμενοι στην Θεωρία της Αβεβαιότητας, ξέρουμε πως κάποια προβλήματα μπορούν ενώ κάποια άλλα δεν μπορούν να λυθούν-αποδειχτούν κλπ. Όμως είναι ή δεν είναι αυτό ένα λογικό κενό μιας και τελικώς, αν το σκεφτεί κανείς, είμαστε σίγουροι από την αρχή. Δηλαδή θέλω να πω, είμαστε σίγουροι και γνωρίζουμε πως υπάρχουν δύο πιθανότητες για ένα υποθετικό πρόβλημα: ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί ή ότι το πρόβλημα δεν μπορεί να λυθεί. Από αυτό το γεγονός ξέρουμε (αξίωμα αγαπητέ Russell! γιατί δεν μπορεί να αποδειχτεί ή τουλάχιστον δεν μπορώ να το αποδείξω εγώ) πως μία από τις δύο (ή και περισσότερες αν υπάρχουν) πιθανές λύσεις θα ισχύουον. Κάτι σαν παράδοξο, μιας και σκεφτόμαστε το κουτί, έξω από το κουτί.

Αντικρούοντας ένα αρχικό επιχείρημα του Ηλία (σχετικά με P≠NP και το Incompleteness theorem του Gödel) του απάντησα πως δεν ζητάω να αποδείξουμε ότι λύνονται όλα τα προβλήματα, απλά βάση της λογικής αυτής, καταλήγουμε από το “χάος” στην “τάξη”, από την υποτιθέμενη άγνοια και αβεβαίοτητα στην βεβαιομένη γνώση ότι αναγκαστικά, μία από τις πιθανότητες επιλύσιμο-μη επιλύσιμο (ακόμη και το “αβέβαιο”, δεν ξέρουμε δηλαδή αν είναι όντως επιλύσιμο-άλυτο) θα ισχύσει.

Και μετά μπήκε στο παιχνίδι η Fuzzy logic. Με την Fuzzy logic φτάνουμε στο εξής συμπέρασμα: κατά πόσο ένα πρόβλημα είναι επιλύσιμο ή όχι. Και μαζί με set theory μπορούμε να πούμε πως θα ανήκει στο κατά “x” set των επιλύσιμων προβλημάτων, το οποίο βέβαια οδηγεί σε μεγαλύτερο πρόβλημα. Αν όλα τα sets είναι fuzzy (γιατί είμαστε certain πλέον: είτε κατά “x” επιλύσιμο, είτε κατά “x” όχι, είτε ακόμη και το “x” αβέβαιο et cetera) τότε όλα τα sets εμπεριέχονται κατά “x” μέσα σε άλλο set. Άρα δεν ισχύει και το παράδοξο του καλού φίλου Russell εκτός αν ορίσουμε παραπάνω από μια ιδιότητες για να ορίσουμε το κάθε fuzzy set (θυμίζω, ∞ fuzzy sets) σχετικά με το κατά πόσο ανήκει το ένα σε ένα άλλο.

Βάση της λογικής λοιπόν οδηθήκαμε στο παράλογο. Όπως είπε αυτός ο φιλαράκος ο Russell, “Η λογική είναι παράλογη! Μια μηχανή παραγωγής ταυτολογιών” πριν γραφτεί το Tractatus από τον Wietgenstein που το έκανε dispute, αν και μαθητής του Russell. Παράδειγμα δικό μου: έστω ότι πούμε “όλα είναι υποκειμενικά”. Αυτό είναι από μόνο του οξύμωρο καθώς ορίζουμε πως όλα είναι υποκειμενικά, άρα παύουο=ν να είναι υποκειμενικά, χάνουν την υποκειμενική τους φύση αφού τα ορίσαμε, άρα πλέον είναι αντικειμενικά. Αλλά παρόλαυτα, επειδή είναι η δικά μας άποψη, είναι υποκειμενικά. Ταυτολογίες, λογική, μαθηματικά, madness ξανά.

Προς το τέλος της συζήτησης με τον Ηλία, του έφερα άλλο ένα παράδειγμα της λογικής μου. Έστω ότι υπήρχαν 3 πιθανότητες στο πρόβλημα “τι κάνει ο Ηλίας αυτήν την στιγή”. Είμαστε σίγουροι λοιπόν πως ο Ηλίας κάτι από αυτά τα πιθανά σενάρια θα έκανε εκείνη την στιγμή, ή έστω και αν ήταν ∞ επιλογές-πιθανότητες του τι θα έκανε. Πάντα θα υπάρχει τουλάχιστον μία που θα ισχύει, άρα είμαστε σίγουροι ότι κάτι θα κάνει χωρίς να μας ενδιαφέρει το τι θα κάνει.

Θυμίζει εδώ λίγο Bolzano και το έστω μια ρίζα ξ ε (α,β) όπου α, β αριθμοί.

Συμπέρασμα; Μέσω της Αβεβαιότητας είμαστε βέβαιοι. Κι όμως.

Το ότι διαβάζεις αυτές τις γραμμές σημαίνει ή πως κατάφερες και παρακολούθησες την ροή όλων αυτών των σκέψεων είτε ότι είσαι πολύ καλός scroller. Όπως και να έχει μπράβο, γιατί δεν ήταν και εύκολο να παρακολουθήσεις τόση Λογική και θεωρίες μαζί. Αν ψήνεσαι μπορείς να αφήσεις και σχόλιο σχετικά με την άποψη σου, ή σχετικά με το τι μπαρούφες λέω, ή αν συμφωνείς (wow!).

posted: January 31, 2011
under: Logic, Mathematics

8 Responses

  1. Dimos says:

    Πολύ καλή προσπάθεια και να συνεχίσεις να διαβάζεις τέτοια πράγματα. Αλήθεια. Κι αν σ’ αρέσουν, γιατί όχι, να ασχοληθείς και μ’ αυτά.
    Κάποιες μικροπαρατηρήσεις θα κάνω, με όλη την καλή διάθεση βέβαια :)

    -Η αρχή της αβεβαιότητας (αν αναφέρεσαι σε αυτή που αντιλαμβάνομαι) είναι μέρος της επιστήμης, εννοώ της κβαντομηχανικής (φυσική), και σε καμία περίπτωση δε λέει αυτό που φαίνεται πως λέει στο κείμενό σου. Περιγράφει ένα φυσικό σύστημα και έχει σχέση με τις μετρήσεις. Εκτός βέβαια αν το συνδέεις με κάποιον τρόπο με αυτό που λες, τον οποίο δεν μπορώ να αντιληφθώ αυτή τη στιγμή. Ψάξτο πάντως.
    -Ο Goedel σε καμία περίπτωση, απ’ όσο γνωρίζω, δεν απέδειξε ότι υπάρχουν αξιώματα που δεν μπορούν να αποδειχθούν. Και μόνη η έννοια της απόδειξης εμπεριέχει αυτή των αξιωμάτων, πρέπει να κάνεις παραδοχές για να δημιουργήσεις ένα τυπικό σύστημα ικανό να αποδείξει κάτι. Αυτό που απέδειξε είναι πως έχοντας ένα δεδομένο τυπικό σύστημα (με σύμβολα και αξιώματα) μπορείς να δημιουργήσεις προτάσεις με τα σύμβολα του συστήματος οι οποίες θα είναι αληθείς αλλά όχι αποδείξιμες με τα αξιώματα του συστήματος. Δες το κι αυτό.
    -Το να πάρεις και μόνο την απόφαση ότι τα προβλήματα έχουν ή δεν έχουν λύση είναι μάλλον λογικό κενό, γιατί αυτή σου η απόφαση είναι το αξίωμα. Για να μπει η λογική θα πρέπει να διατυπώσεις κανόνες που θα συσχετίζουν αυτό με άλλα αξιώματα. Αυτή η απόφαση δεν εμπεριέχει τη “λογική”.
    -Τέλος, σχετικά με το “όλα είναι υποκειμενικά”. Είναι καλό το παράδειγμα, αλλά δεν εμφανίζεται πρόβλημα εφόσον οριστεί σωστά το όλα. Συνήθως όταν μιλάς για “όλα” αναφέρεσαι σε μια ομάδα, ένα σύνολο αν θέλεις, πραγμάτων για τα οποία εσύ είσαι “εξωτερικός παρατηρητής”. Βέβαια αν το “όλα” δεν μπορεί να λεχθεί στην περίπτωση που εννοείς ένα σύστημα του οποίου ο ίδιος είσαι μέλος.

    Αυτά πάνω-κάτω, είναι πάρα πολύ καλό που ενθουσιάζεσαι, αν σου αρέσουν και σοβαρά να μου πεις να σου δανείσω βιβλία, έχω αρκετά. Απ’ το καλοκαίρι και μετά όμως ε?
    Καλή συνέχεια

  2. diab says:

    Δεν ξέρω (ή μάλλον ξέρω) πόσο σωστά ή λάθος είναι αυτά που λες, αλλά ζηλεύω την εμπειρία που θα έχεις όταν ασχοληθείς με αυτά πρώτη φορά.

  3. porcupine says:

    Σε μεγάλο βαθμό συμφωνώ με όσα είπε ο Dimos.

    Οι σκέψεις σου είναι απλώς καταπληκτικές. (Εγώ στα 18 μιλούσα για Ολυμπιακό και Bruce Springsteen. Μόνο.)

    Ένα από τα πράγματα που έμαθα στο Φυσικό είναι ότι για να ξεκινήσεις σε κάποια αξιόπιστα συμπεράσματα, πρέπει να ξεκινήσεις από super σταθερές αρχές. Βάσει αυτού δυσκολεύομαι να εντάξω τη Θεωρία της Απροσδιοριστίας του δάσκαλου Heisenberg στο κείμενο αυτό, καθώς σε αυτή την περίπτωση πάμε σε κβαντικά φαινόμενα που δεν εφαρμόζονται μακροσκοπικά. Είναι γοητευτικές αυτές οι μεταβάσεις στον κόσμο μας, αλλά δε μπορώ να πειστώ ότι γίνεται. Αν χάνω κάτι, ρίξε σήμα.

    Κατά τ’ άλλα, αυτή την ομορφιά των Μαθηματικών μπορώ να αντιληφθώ γιατί έχει διαδοθεί τόσο άγρια. Την αξίζει, κατά την ταπεινή μου γνώμη. Παρ’ όλα αυτά, δε μου αρέσει, ίσως γιατί δεν μπορώ αυτές τις αόριστες επεκτάσεις της λογικής. Λάτρεψα τη Φυσική γιατί τη βλέπεις συνέχεια γύρω σου, μου ταιριάζει το πως εξάπτει τη φαντασία μου και μπορείς να τη περιγράψεις ακόμα και σε μια γιαγιάκα (τουλάχιστον τα βασικά).
    Μετά γνώρισα τους Φυσικούς. Και είπα να κάνω κάτι άλλο και να επανέρχομαι σε αυτή όταν θέλει και θέλω.
    Αρχίζει να γινεται βιογραφία το σχόλιο, οπότε τα παρατάω.

    Μπράβο για το post. Φανταστικό.

  4. Apostolos says:

    Μετά από μήνες, καιρός να γράψω την απάντηση μου, η οποία βέβαια θα αναφέρεται αρχικά κυρίως στον Δήμο και μετά, κατ’ επέκταση προς εσένα Γιάννη και όλους.

    Δεν αναφέρομαι στην Αβεβαιότητα της Φυσικής του Heisenberg, αλλά στο μαθηματικό θεώρημα. Δεν έχω link να παραθέσω—πάντα το χάνω για κάποιο λόγο μέσα στην τεράστια wikipedia.

    O Gödel απ’ όσο έχω καταλάβει απέδειξε μέσω δύο θεωρημάτων του (Incompleteness theorems), πως η αναζήτηση του Hilbert για να βρει ένα complete και consistent set of axioms για όλα τα μαθηματικά προβλήματα, είναι αδύνατο. Με άλλα λόγια, απέδειξε πως δεν μπορούμε να αποδείξουμε όλα τα θεωρήματα—και το χειρότερο, δεν ξέρουμε ποια μπορούν και ποια δεν μπορούν να αποδειχθούν.

    Αναγκαστικά, οι βάσεις μιας σκέψης, ενός συλλογισμού, θα είναι το αξίωμα σου. Εγώ έχω ως αξίωμα το ότι κάθε πρόβλημα έχει ως λύση το “έχει ή δεν έχει λύση” χωρίς να με ενδιαφέρει η λύση του (αν έχει). Άρα κατ’ επέκταση, είμαι βέβαιος. (Σε αντίθεση με αυτό που έλεγε ο Feynman, Γιάννη). Παράδειγμα το “τι κάνει ο Ηλίας αυτήν την στιγμή” που ανέφερα ήδη. Πάντα θα κάνει κάτι έστω και να έχει ∞ possible πράγματα να κάνει, ακόμη και με το “δεν κάνει τίποτε” πάλι κάτι θα κάνει, το ότι δεν κάνει τίποτε. Χωρίς να με ενδιαφέρει τι κάνει, ξέρω ότι κάτι κάνει, άρα είμαι βέβαιος. (Πολλά “κάνει” σε μια πρόταση, κουράστηκα και εγώ ο ίδιος.)

    Αυτές οι αόριστες και χαοτικές επεκτάσεις της λογικής είναι, Γιάννη, αυτό που με συναρπάζει με τα (θεμέλια) των Μαθηματικών και το άπειρο. Σχετικά με την “μάχη” Φυσικής και Μαθηματικών έχω να προσθέσω μόνο αυτό.

    Και το mention για τον Ολυμπιακό, το ξεπερνώ απλά.

  5. Apostolos says:

    Τι γίνεται όμως αν πάρουμε το set από τα προβλήματα τα οποία δεν έχουν λύση; Αυτό περιέχει τον εαυτό του;

    Ή πολύ απλά, δεν ξέρουμε ποια έχουν ή δεν έχουν λύση, χάρη στον φίλο Gödel.

    Weird.

  6. Μου έβαλες τα γυαλιά, με έβγαλες απ το σκοτάδι, μου έδωσες το φως που τόσο καιρό έψαχνα, μου έδειξες την έξοδο στον λαβύρινθο, έδεσες τα σκυλιά της ανοιχτής πόρτας, σκότωσες την λερναία ύδρα του ωκεανού της γνώσης, απ τα βάθη της καρδιάς μου… σ ευχαριστώ!!!
    Βγάζοντας με απ το γνωστικό μου αδιέξοδο κέρδισες μια θέση στην καρδιά μου, είσαι ο πνευματικός μου ιππότης, είσαι ο γητευτής των μαθηματικών, ο Ροθτσιλντ της οξυδέρκειας, ο Πούτιν της αμφισβήτησης, ο Πάπας των μαθηματικών αναλύσεων, είσαι η Βέφα των θετικών επιστημών, είσαι ο Βασίλισσα Ελισάβετ της λογικής, ο Αχμαντινετζάν της ορθής σκέψης και αφού την είπες και στον Russel (που απ ότι βλέπω γνωρίζεστε και απ το παρελθόν) …από σήμερα σου ανήκω !!!

  7. Apostolos says:

    Τέλεια, Ντεντελίδη. *Ο* Βασίλισσα Ελισσάβετ όμως δεν γίνεται να είμαι…

  8. γιαννης says:

    και ποια είναι τα αξιώματα των ιπποτών?